Question

【题目】（本小题满分12分）

已知函数， ．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，过原点分别作曲线与的切线， ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： ；

(3)设，当， 时，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）求原函数的导函数，对分类讨论可得原函数的单调区间；（2）背景为指数函数与对数函数关于直线对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在性定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题 这个结论，考查学生对知识的掌握程度.

（1）依题意，函数的定义域为，对求导，得．

①若，对一切有，函数的单调递增区间是．

②若，当时， ；当时， ．

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）设切线的方程为，切点为，则，

，所以， ，则．

由题意知，切线的斜率为， 的方程为．

设与曲线的切点为，则，

所以， ．

又因为，消去和后，整理得．

令，则， 在上单调递减，在上单调递增．

若，因为， ，所以，

而在上单调递减，所以．

若，因为在上单调递增，且，则，

所以（舍去）．

综上可知， ．

（3）， ．

①当时，因为，所以，

在上递增， 恒成立，符合题意．

②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．

所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数的取值范围是．