题目内容

已知{a_n}为等差数列，{b_n}为各项均是正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃
求：（Ⅰ）数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）数列{8a_nb²_n}的前n项的和S_n．

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），得2a₃=a₂+a₄，b₃²=b₂•b₄，
又a₂+a₄=b₃，b₂•b₄=a₃，
∴2b₃²=b₃
∵b_n＞0∴ $\text{[math]}$
由　 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ （2分）
由 $\text{[math]}$ ，a₁=1得： $\text{[math]}$ （4分）
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （n∈N₊）　　　（6分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，s_n=c₁d₁+c₂d₂+…+c_nd_n①等式两边同乘以 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ②
由①-②得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
因此　 $\text{[math]}$ （n∈N₊）　　　（9分）
分析：（Ⅰ）由已知条件可得：2a₃=b₃，b₃²=a₃，即2b₃²=b₃，由题意可求得 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，b_n可求；
$\text{[math]}$ ．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，8a_nb_n²=（11-3n）•2^1-n，这是一个由等差数列与等比数列的乘积项构成的数列，这样的数列求和可用错位相见法解决．
点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相见法求和，解决问题的关键是解方程，求对两个数列的通项公式．