Question

已知的边所在直线的方程为,满足, 点在所在直线上且．

（Ⅰ）求外接圆的方程；
（Ⅱ）一动圆过点，且与的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅲ）过点斜率为的直线与曲线交于相异的两点，满足，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析试题分析：（Ⅰ）,从而直线AC的斜率为．
所以AC边所在直线的方程为．即． 
由得点的坐标为，
   
又．            
所以外接圆的方程为: ．                     
（Ⅱ）设动圆圆心为，因为动圆过点，且与外接圆外切，
所以，即．                                          
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为，半焦距的双曲线的左支．    
从而动圆圆心的轨迹方程为．
(Ⅲ)直线方程为：,设
由得
解得：
故的取值范围为
考点：圆的方程，双曲线定义及直线与双曲线相交问题
点评：利用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程是常出现的考点，要注意的是动点轨迹是整条圆锥曲线还是其中一部分