Question

已知直线l₁经过点A（-3，0），B（3，2），直线l₂经过点B，且l₁⊥l₂．
（1）求经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
（2）设直线l₂与直线y=8x的交点为C，求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线经过原点或不经过原点，分两种情况加以讨论，利用直线在坐标轴上截距的概念和直线方程的截距式，即可算出满足条件的直线方程；
（2）由A、B的坐标算出直线l₁的斜率k₁=

1

3

，从而得到l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3，利用点斜式列式可得直线l₂的方程为y=-3x+11．联解直线l₂与直线y=8x，算出交点为C（1，8），设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐标解出D、E、F的值，即可得到所求△ABC外接圆的方程．

解答：解：（1）设经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线为m，
①当直线m经过原点时，在两坐标轴上的截距都为零，符合题意．
此时，直线m的方程为y=

2

3

x；
②当直线m不经过原点时，设方程为

x

a

+

y

a

=1，
将点B（3，2）代入，得

3

a

+

2

a

=1，解之得a=5，
此时直线m的方程为

x

5

+

y

5

=1，化简得x+y-5=0．
综上所述，直线m方程为y=

2

3

x或x+y-5=0，即为所求直线的方程．
（2）∵直线l₁经过点A（-3，0），B（3，2），
∴直线l₁的斜率k₁=

2-0

3-(-3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3．
又∵直线l₂经过点B（3，2），
∴直线l₂的方程为y-2=-3（x-3），即y=-3x+11，
由

y=8x y=-3x+11

联解，得

x=1 y=8

，可得直线l₂与直线y=8x的交点为C（1，8）．
设经过A、B、C三点的圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
可得

9-3D+F=0 9+4+3D+2E+F=0 1+64+D+8E+F=0

，解之得

D=2 E=-8 F=-3

，
∴经过A、B、C三点的圆方程为x²+y²+2x-8y-3=0，即为△ABC外接圆的方程．

点评：本题着重查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系、圆标准的方程与一般方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．