Question

如图，在四棱锥E—ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．

(Ⅰ)求证：平面ADE上平面ABE；

(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离．

Answer 1

解法一：取BE的中点O，连OC．

∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图，

则由已知条件有：

C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)

设平面ADE的法向量为n=(a，b，c)，

则由n·=(a，b，c)·(0，2，2)=2b+2c=0．

及n·=(a，b，c)·(-1，，1)=-a+b+c=0．

可取n=(0，1，)

又AB上平面BCE．∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE

∴平面ABE的法向量可取为m=(1，0，0)．

∵n·m=(0，1，)·(1，0，0)=0，

∴n⊥m  ∴平面ADE⊥平面ABE．

(Ⅱ)点C到平面ADE的距离为

解法二：取BE的中点O，AE的中点9，连OC、OF、DF，

则OFBA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD

∴CDBA，OFCD   ∴OC∥FD

∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．

∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．

从而平面ADE上平面ABE．

(Ⅱ)∵CDBA，延长AD，BC交于T  则C为BT的中点．

点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的·

过B作BH⊥AE，垂足为H．

∵平面ADE⊥平面ABE．∴BH⊥平面BDE．

由已知有AB⊥BE．BE=2，AB=2，∴BH=，

从而点C到平面ADE的距离为

或OC∥FD，点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为．或取AB的中点M．易证CM∥DA，点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为．