Question

已知函数f(x)=sinx+bcos2

x

2

，b为常数，b∈R，且x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）先将x=

π

2

代入函数f（x）解出b的值，再将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

可得答案．
（2）先根据x的范围求出x-

π

4

的范围，进而根据三角函数的性质可得到答案．

解答：解：（I）f(

π

2

)=sin

π

2

+bcos2

π

4

=0，
则1+

1

2

b=0，解得b=-2；
所以f(x)=sinx-2cos2

x

2

=sinx-cosx-1，
则f(x)=

2

sin(x-

π

4

)-1．
所以函数f（x）的最小正周期为2π．
（I）由x∈[0，π]，得x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
则sin(x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
则

2

sin(x-

π

4

)∈[-1，

2

]，

2

sin(x-

π

4

)-1∈[-2，

2

-1]，
所以y=f（x）值域为[-2，

2

-1]．

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和值域的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再解题．