题目内容

设F₁、F₂是双曲线 $数学公式$ 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使 $数学公式$ （O 为坐标原点），且 $数学公式$ ，则双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由向量减法法则和数量积的运算性质，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c，从而得到△PF₁F₂是以为F₁F₂斜边的直角三角形．由此结合 $\text{[math]}$ ，运用勾股定理算出 $\text{[math]}$ c， $\text{[math]}$ c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c
∴△PF₁F₂中，边F₁F₂上的中线等于|F₁F₂|的一半，可得 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（λ＞0）
得（3λ）²+（2λ）²=4c²，解得λ= $\text{[math]}$ c
∴ $\text{[math]}$ c， $\text{[math]}$ c
由双曲线的定义，得2a=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ c
∴双曲线的离心率为e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选A
点评：本题给出双曲线上一点P满足∠F₁PF₂为直角，且两直角边之比为 $\text{[math]}$ ，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．