Question

【题目】某景区拟将一半径为的半圆形绿地改建为等腰梯形(如图，其中为圆心，点在半圆上)的放养观赏鱼的鱼池，周围四边建成观鱼长廊（宽度忽略不计）.设，鱼池面积为(单位：).

（1）求S关于的函数表达式，并求鱼池面积何时最大；

（2）已知鱼池造价为每平方米2000元，长廊造价为每米3000元，问此次改建的最高造价不超过多少？（取计算）

Answer 1

【答案】（1），；时，（2）27000000

【解析】

（1）结合三角函数的基本概念，表示出等腰梯形的上底下底和高，结合和面积公式和导数即可求解

（2）作，求出，则 ，表示等腰梯形周长为

，进而表示出总造价公式，利用导数研究函数增减性，进而求解

如图，，，则等腰梯形面积为

，代入数据可得：，

，当时，，，时，，，故当时，函数取到最大值，

（2）作，得，，等腰梯形周长为：

，结合（1）中面积，可得总造价

化简得：

由（1）知在时单调递增，时单调递减，令

则，令，，当时，，时，，故得出与在上增减性相同，所以在单增，时单减，在时取到最大值：

故总造价不超过27000000元