Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

Answer 1

【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。

(Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

N(，0，0)，C(，3，0)．

设Q(x，y，z)，则．

∵，∴．

由，得：．   即：．

对于平面AMN：设其法向量为．

∵．

则．  ∴．

同理对于平面AMN得其法向量为．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，

则．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．