Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为

-49

．

Answer 1

分析：由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a与公差d的值，确定出数列各项，即可找出nS_n的最小值．

解答：解：设等差数列{a_n}的首项为a，公差为d，
∵S₁₀=10a+45d=0，S₁₅=15a+105d=25，
∴a=-3，d=

2

3

，
∴等差数列{a_n}的各项为：-3，-

7

3

，-

5

3

，-1，-

1

3

，

1

3

，1，

5

3

，

7

3

，3，

11

3

，

13

3

，5，…，
根据题意得：当n=1时，S₁=-3；当n=2时，2S₂=-

32

3

；当n=3时，3S₃=-21；当n=4时，4S₄=-32；
当n=5时，5S₅=-

125

3

；当n=6时，6S₆=-48；当n=7时，7S₇=-49；当n=8时，8S₈=-

128

3

；
当n=9时，9S₉=-27；当n=10时，10S₁₀=0；…，其余结果为正，
∴nS_n的最小值为7S₇=-49．
故答案为：-49

点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．