Question

已知函数f（x）=

3-x2

x

+alnx，且x=3是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-m，试就实数m的不同取值，讨论函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数．（参考数据：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer 1

分析：（I）根据f′（x）=-

3

x2

-1+

a

x

，及x=3是函数f（x）的一个极值点得a=4．
（II）有函数求导得到导函数，在令导函数大于零解出的x的范围即为函数的单调区间；
（III）由题意先求出函数f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，结合图象即得．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

3

x2

-1+

a

x

，
由x=3是函数f（x）的一个极值点得：
f′（3）=-

1

3

-1-

a

3

=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=-

3

x2

-1+

4

x

，根据f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）为其单调递减区间；
（1，3）为其单调递增区间；（ 3，+∝）为其单调递减区间；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，由下表结合图象得

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
F′（x）	-	0	-	0	-
F（x）	减	极小值2	增	极大值4ln3-2	减	4ln5-22/5

当m＜2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为0；
当m=2或m＞4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为1；
当2＜m＜4ln5-

22

5

或m=4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为2；
当4ln5-

22

5

≤m＜4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为3；

点评：此题重点考查了函数利用导函数求其单调区间，还考查了函数存在极值的条件及判断方法．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．