Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，如图所示.

（1）求证：AC⊥BC₁；

（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

解法一:（1）证明：∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC.

∵BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC₁.

(2)证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE.

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)解：∵DE∥AC₁,

∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角.

在△CED中，ED=AC₁=，CD=AB=，

CE=CB₁=2.

∴cos∠CED=

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

解法二：

∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC、BC、C₁C两两垂直.

如上图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B(0,4,0),B₁（0，4，4），D（，2，0）.

(1)证明:∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),

∴·=0.∴AC⊥BC₁.

(2)证明:设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，则E（0，2，2）.

∵=(-,0,2),=(-3,0,4),

∴=.∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)解：∵=(-3,0,4),=(0,4,4),

∴cos〈〉

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.