Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD中点,求证:BG⊥平面PAD;

(2)求证:AD⊥PB;

(3)求二面角A-BC-P的大小.

Answer 1

(1)证明：连结BD.

    ∵ABCD是菱形,且∠DAB=60°,

    ∴△ABD是正三角形.而G为AD的中点.

    ∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

    ∴BG⊥面PAD.

(2)证明:连结PG,

    ∵△APD是正三角形,且G为AD中点,

    ∴PG⊥AD.

    又BG⊥AD,

    ∴AD⊥平面PGB.

    ∴AD⊥PB.

(3)解:∵PG⊥AD,

    ∴PG⊥平面ABCD.

    ∴PG⊥GB.

    ∵PB⊥AD,BC∥AD,    ∴PB⊥BC.

    而BG⊥BC,

    ∴∠PBG就是二面角A-BC-P的平面角.

    在Rt△PGB中,PG=BG,

    ∴∠PBG=45°,

    即二面角A-BC-P的大小是45°.