Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：
①f（x）的一个零点为2；②f（x）的最大值为1；③对任意实数x都有f（x+1）=f（1-x）．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设函数g(x)=

x，      x∈A f(x)， x∈B

是定义域为（0，1）的单调增函数，且0＜x₀＜x′＜1．当x₀∈B时，证明：x′∈B．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件①②③，可以得到2为f（x）=0的一个根，函数的对称轴为x=1，及最大值为

4ac-b2

4a

=1，列出方程组，求解即可得到a，b，c的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求的解析式，研究x∈B时，f（x）=g（x），根据g（x）的定义域和单调性，可得到[x0，-

x

2 0

+2x0]⊆B，研究可以得到[x_n-1，x_n]⊆B，进一步分析，取自然数nx′≥log2log(1-x0)(1-x′)，即可得x∈[x0，xnx′]，从而证到x'∈B．

解答：解：（I）∵f（x）的一个零点为2，
∴f（2）=0，即4a+2b+c=0，①，
又对任意x都有f（x+1）=f（1-x），
令x=-1，则f（0）=f（2）=0，
∴c=0，②
∵f（x）的最大值为1，
∴

4ac-b2

4a

=1，即4a+b²-4ac=0，③
由①②③得，解得a=-1，b=2，c=0；
（II）证明：由（ I）知，f（x）=-x²+2x，
∵x₀∈B，
∴g（x₀）=f（x₀）=-x02+2x₀=-(x0-1)2+1，
∵g（x）的定义域为（0，1），
∴0＜x₀＜1，
∴x₀＜g（x₀）＜1，
∵g（x）是单调递增函数，
∴[x0，-

x

2 0

+2x0]⊆B，
记x1=-

x

2 0

+2x0∈(0，1)，x2=-

x

2 1

+2x1，…，xn=-

x

2 n-1

+2xn-1，…
∴[x₀，x₁]⊆B，
同理[x₁，x₂]⊆B，…，[x_n-1，x_n]⊆B，…
∵xn=-

x

2 n-1

+2xn-1，
∴1-xn=1+

x

2 n-1

-2xn-1=(1-xn-1)2，
∴1-xn=(1-xn-1)2=(1-xn-2)22=…=(1-x0)2n，
∵x₀＜x'＜1，可取自然数nx′≥log2log(1-x0)(1-x′)，
∴x′≤xnx′，即x∈[x0，xnx′]，
∵x∈[x0，xnx′]⊆B，
∴x'∈B，
∴当x₀∈B时，x′∈B．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．综合运用了函数的性质，涉及了函数的零点、最值、对称性．考查了利用函数单调性证明不等式的问题，属于中档题．