Question

【题目】如图，AC=2ED，AC∥平面EDB，AC⊥平面BCD，平面ACDE⊥平面ABC．

（Ⅰ）求证：AC∥ED；
（Ⅱ）求证：DC⊥BC；
（Ⅲ）当BC=CD=DE=1时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅳ）在棱AB上是否存在点P满足EP∥平面BDC；
（Ⅴ）设 =k，是否存在k满足平面ABE⊥平面CBE？若存在求出k值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为AC∥平面EDB，平面ACDE∩平面EDB=ED，
且AC平面EDB，
所以AC∥ED．
（Ⅱ）证法1：因为AC⊥平面BCD，所以AC⊥CD，
因为平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC=AC，CD平面ACDE，
所以CD⊥平面ABC，
所以CD⊥CB．
证法2：因为AC⊥平面BCD，所以AC⊥CD，AC⊥CB，
因为平面ACDE∩平面ABC=AC，
所以∠DCB为二面角D﹣AC﹣B的平面角，
又因为平面ACDE⊥平面ABC，
所以∠DCB=90°，即CD⊥CB．
（Ⅲ）解:由（Ⅱ）证明可知AC⊥CD，AC⊥CB，CD⊥CB，
所以如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，
因为BC=CD=DE=1，所以A（2，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），E（1，0，1），
所以 ，
设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），则 ，取y=1，得 =（0，1，1）．
设平面ABE的法向量为 =（a，b，c），则 ．
所以cos＜ ＞= = ，
所以，依据题意可得二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 ．
（Ⅳ）解法1：取AC中点F，连接EF，过点F作FP∥BC交AB于点P，
所以P为AB中点．
因为AC=2ED，AC∥ED，所以 ，所以EF∥CD．
所以平面EFP∥平面BCD，
所以EP∥平面BCD．
解法2：设 ，则 ，
由（Ⅱ）证明可知平面BCD的一个法向量为 =（1，0，0），
由 =1﹣2λ=0=0，得 ，
所以当P为AB中点时，AP与平面BCD成角为0°，
所以当P为AB中点时，AP∥平面BCD．
（Ⅴ）设AC=2a，则A（2a，0，0），E（a，0，ka），B（0，b，0），
则 ，
设平面CBE的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1）， =（a，0，ka）， =（0，b，0），
由 ，取x1=k，得 =（k，0，﹣1），
设平面ABE的法向量 =（x2 ， y2 ， z2），
由 ，取z2=1，得 =（k， ，1），
因为平面ABE⊥平面CBE，所以 =k2﹣1=0，由k＞0，得k=1．
所以当k=1时，平面ABE⊥平面CBE．

【解析】（Ⅰ）由AC∥平面EDB，平面ACDE∩平面EDB=ED，能证明AC∥ED．（Ⅱ）法1：推导出AC⊥CD，从而CD⊥平面ABC，由此能证明CD⊥CB．
证法2：推导出AC⊥CD，AC⊥CB，从而∠DCB为二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能证明CD⊥CB．（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．（Ⅳ）法1：取AC中点F，连接EF，过点F作FP∥BC交AB于点P，得到P为AB中点．推导出EF∥CD，由此能证明EP∥平面BCD．法2：设 ，则 ，求出平面BCD的一个法向量为 =（1，0，0），从而得到当P为AB中点时，AP∥平面BCD．（Ⅴ）设AC=2a，求出平面CBE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出当k=1时，平面ABE⊥平面CBE．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．