Question

（18）

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点。

（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；

（2）求二面角A－A₁D－B的大小；

（3）求点C到平面A₁BD的距离。

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解法一：（Ⅰ）取中点，连结.

为正三角形，.

正三棱柱中，平面平面，

平面.

连结，在正方形中，分别为的中点，

，

.

在正方形中，，

平面.

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面.

，

为二面角的平面角.

在中，由等面积法可求得，

又，

.

所以二面角的大小为.

（Ⅲ）中，，.

在正三棱柱中，到平面的距离为.

设点到平面的距离为.

由得，

.

点到平面的距离为.

解法二：（Ⅰ）取中点，连结.

为正三角形，.

在正三棱柱中，平面平面，

平面.

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，.

，，

，.

平面.

（Ⅱ）设平面的法向量为.

，.

，，

 

令得为平面的一个法向量.

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量.

，.

二面角的大小为.

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

.

点到平面的距离.