Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=。

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三棱锥A-CBE的体积，求V(x)的表达式；
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，BC∥DE， ∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴DC⊥BC， ∵AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC且DC∩AC=C， ∴BC⊥平面ADC， ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC， 又∵DE平面ADE， ∴平面ACD⊥平面ADE。 （Ⅱ）解：∵DC⊥平面ABC， ∴BE⊥平面ABC， ∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB =θ， 在Rt△ABE中，由，AB=2得， 在Rt△ABC中， ∵（0＜x＜2）， ∴， ∴（0＜x＜2）。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知0＜x＜2，要取得最大值， 当且仅当取得最大值， ∵当且仅当， 即时，“=”成立， ∴当取得最大值时，，这时△ACB为等腰直角三角形， 连结CO，DO， ∵AC=BC，DC=DC， ∴≌， ∴AD=DB， 又∵O为AB的中点， ∴CO⊥AB，DO⊥AB， ∴∠DOC为二面角D-AB-C的平面角， 在Rt△DCO中，∵，， ∴， ∴∠DOC =60°， 即当取得最大值时，二面角D-AB-C为60°。