Question

已知函数f(x)＝－x²－3x－．

(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标；

(2)求函数的单调区间、最值和零点；

(3)设图象与x轴相交于(x₁，0)、(x₂，0)，不求出根，求|x₁－x₂|；

(4)已知f(－)＝，不计算函数值，求f(－)；

(5)不计算函数值，试比较f(－)与f(－)的大小；

(6)写出使函数值为负数的自变量x的集合．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：讨论二次函数的性质一般要明确其图象的开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点，求顶点可以用配方法，也可以直接用顶点公式(－，)，求与x轴的交点可借助配方法或直接使用求根公式x＝(b2－4ac≥0)．画函数图象时，一般要标注对称轴、顶点、与x轴的交点．下面我们选用配方法解答本题． 　　解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5) 　　＝－(x2＋6x＋9－9＋5) 　　＝－[(x＋3)2－4] 　　＝－(x＋3)2＋2． 　　令y＝0，得(x＋3)2＝4． 　　∴x1＝－5，x2＝－1． 　　(1)开口向下，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，2)，与x轴的交点为(－5，0)，(－1，0); 　　(2)单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)，有最大值为2，无最小值，零点为－5，－1; 　　(3)x1、x2是方程－x2－3x－＝0，即方程x2＋6x＋5＝0的两个根，由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝5． 　　∴|x1－x2|＝; 　　(4)∵对称轴x＝－3， 　　∴f(－3＋x)＝f(－3－x)． 　　∴f(－)＝f(－3＋)＝f(－3－)＝f(－)＝; 　　(5)f(－)＝f(－3－)＝f(－3＋)＝f(－)， 　　∵－、－∈(－3，＋∞)，而f(x)在(－3，＋∞)上是减函数，且－＞－， 　　∴f(－)＜f(－)，即f(－)＜f(－); 　　(6){x|x＜－5或x＞－1}．

提示：

讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个函数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及转化化归等重要数学思想．