Question

（2013•烟台一模）已知平面向量

a

=(cosφ，sinφ)，

b

=(cosx，sinx)，

c

=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx的图象过点(

π

6

，1)．
（1）求φ的值；
（2）先将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用两个向量的数量积公式求出

a

•

b

和

b

•

c

的值，进而求得f（x）=cos（2x-φ），再把点(

π

6

，1)代入函数的解析式可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-

π

3

），根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=cos（x-

π

6

），再由x∈[0，

π

2

]，利用余弦函数的定义域和值域求得函数g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意可得

a

•

b

=（cosφ，sinφ）•（cosx，sinx）=cosφcosx+sinφsinx=cos（φ-x），

b

•

c

=（cosx，sinx）•（sinφ-cosφ）=sinφcosx-cosφsinx=sin（φ-x），
∴函数f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ）．
把点(

π

6

，1)代入可得 cos（

π

3

-φ）=1．
而 0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-

π

3

），图象向左平移

π

12

个单位，
可得函数y=cos[2（x+

π

12

）-

π

3

]=cos（2x-

π

6

）的图象；然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变，得到函数y=cos（x-

π

6

）的图象，
故函数 y=g（x）=cos（x-

π

6

）．
由x∈[0，

π

2

]，可得 x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
故当x-

π

6

=0时，函数g（x）=cos（x-

π

6

） 取得最大值为1，
x-

π

6

=

π

3

时，函数g（x）=cos（x-

π

6

） 取得最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角恒等变换，余弦函数的、定义域和值域，属于中档题．