题目内容

在a＞0，b＞0的条件下，四个结论：①(
a+b
2
)2≥ab，②
2ab
a+b
≤
a+b
2
，③
a+b
2
≤
a2+b2
2
，④
b2
a
+
a2
b
≤a+b；其中正确的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
对于②③：因为a＞0，b＞0
2ab
a+b
-
a+b
2
=
4ab-a2-2ab-b2
2(a+b)
=-
(a-b)2
2(a+b)
≤0?
2ab
a+b
≤
a+b
2
，
当且仅当a=b时取等号．（5分） (
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2=
a2+2ab+b2
4
-
a2+b2
2
=
-a2+2ab-b2
4
=-
(a-b)2
4
?(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2≤0?(
a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2?
a+b
2
≤
a2+b2
2
，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，当且仅当a=b时等号成立；
①：由于 (
a+b
2
)2-ab=
a2+b2+2ab
4
=
(a+b)
4
2≥0，成立，故 ①正确．
④：取a=2，b=1，代入可知其不成立．
故选C．
练习册系列答案
相关题目
（2013•枣庄二模）已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的两个顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B，C两点，是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若△ABC的重心为G，当边BC的端点在椭圆E上运动时，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围．
（2013•湛江一模）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为-
3
，求双曲线的离心率．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．

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