Question

3．已知函数f（x）=x|x-a|（a＞0）．
（1）不等式f（x）≤1在[0，n]上恒成立，当n取得最大值时，求a的值；
（2）在（1）的条件下．若对于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，结合a＞0，即可得出结论；
（2）a＞0，f（x）的图象如图所示，由图可得，若对于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，则f（$\frac{a}{2}$）=f（1）-t≤0，即可求出t的取值范围．

解答 解：（1）由题意，$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，
∵a＞0，
∴a=2；
（2）a＞0，f（x）的图象如图所示，由图可得，若对于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，则f（$\frac{a}{2}$）=f（1）-t≤0，
∴1-t≤0，∴t≥1．

点评 本题考查绝对值不等式，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．