题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=| -7x | x2+x+1 |
（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试证明函数y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数．
分析：（1）由偶函数的定义：若偶函数f（x）的定义域为I，则，都有f（-x）=f（x）．所以?x＜0，求出f（-x）的解析式即可求出f（x）的解析式．
（2）根据减函数的定义，?x1＜x2∈D，若f（x1）＞f（x2）则函数f（x）在区间D内为减函数．
（2）根据减函数的定义，?x1＜x2∈D，若f（x1）＞f（x2）则函数f（x）在区间D内为减函数．
解答：解：（1）?x＜0，则-x＞0，f(-x)=-
=
∵f（x）为偶函数，
∴f(x)=f(-x)=
(x＜0)
（2）?x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）═
当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0，而x12+x1+1＞0，x22+x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数
| 7(-x) |
| (-x)2+(-x)+1 |
| 7x |
| x2-x+1 |
∵f（x）为偶函数，
∴f(x)=f(-x)=
| 7x |
| x2-x+1 |
（2）?x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）═
| 7(x1-x2)(x1x2-1) | ||||
(
|
当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0，而x12+x1+1＞0，x22+x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数
点评：本题考查了函数奇偶性以及单调性的定义，属于基本知识的考查．定义是数学问题的基础，在学习过程中对于定义要做到理解和灵活运用．
练习册系列答案
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