Question

如图，AB为半圆的直径，P为半圆上一点，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=，建立适当的坐标系．
（1）求A、B为焦点且过P点的椭圆的标准方程．
（2）动圆M过点A，且与以B为圆心，以2为半径的圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵AB为半圆的直径，P为半圆上一点，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα==8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴椭圆的标准方程为：．
（2）由题意可得：|MB|-|MA|=＜10=|AB|，
故动圆圆心M的轨迹在双曲线的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=，∴c^′=5，a^′=，．
其方程为．
分析：（1）建立如图所示的直角坐标系，利用直角三角形的边角关系即可得到|PB|，利用勾股定理即可得到|PA|，从而得到2a，|AB|=2c，再利用b²=a²-c²即可得到椭圆的标准方程．
（2）利用两圆外切的性质和双曲线的定义即可得出．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、两圆外切的性质、勾股定理是解题的关键．