Question

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域上恒有f′（x）＜2成立，则不等式f（2x）＜4x的解集为（　　）

• A．（-∞，1）
• B．（1，+∞）
• C．（-∞，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由f'（x）＜2，设F（x）=f（x）-2x，得F，（x）＜0，知F（x）是减函数；又F（1）=0，由减函数知x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜2x，得f（2x）＜4x的解集．

解答：解：设F（x）=f（x）-2x，则：F'（x）=f'（x）-2＜0
即：F（x）R上的是减函数，且F（1）=f（1）-2×1=0
∴当x＜1时，F（x）=f（x）-2x＞F（1）=0，即：f（x）＞2x；
当x＞1时，F（x）=f（x）-2x＜F（1）=0，即：f（x）＜2x；
∴不等式f（2x）＜4x的解集为：2x＞1，即x＞

1

2

；
故选：D．

点评：本题考查了用导数判定函数的调性的应用，并用构造函数法来解答问题，是易错题．