Question

已知函数f(x)=x2+

a

x

(x≠0，a∈R)
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数y=(

2

3

)x2+

2

x

，x∈[2，+∞）的值域．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，f（x）=x²为偶函数；当a≠0时，根据f（-x）≠±f（x），可得结论．
（2）当x≥2时根据导数的符号可得g（x）=x²+

2

x

在区间[2，+∞）是增函数，t=g（x）≥5．再根据 y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是减函数，求得函数y的值域．

解答：解：（1）当a=0时，显然f（x）=x²为偶函数；
当a≠0时，由于f（-x）≠±f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）∵当x≥2时，令函数g（x）=x²+

2

x

，则g′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

≥0，
所以g（x）在区间[2，+∞）是增函数，且其最小值是g（2）=5．
令t=g（x），则t≥5，且y=(

2

3

)t．
再根据 y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是减函数，∴y≤(

2

3

)5=

32

243

，再根据y＞0，
可得所求的函数值域是(0，

32

243

]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域．