题目内容
判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.
解:直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.
原命题:已知a、x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1.
逆否命题:已知a、x为实数,如果a＜1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a＜1,∴4a-7＜0,
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.
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