题目内容
【题目】已知抛物线
：
的焦点到准线的距离为2，直线
与抛物线交于
、
两点，若存在点
使得
为等边三角形，则
（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
设
，
，联立直线与抛物线方程，表示出MN的中点为P的坐标，利用
为等边三角形求出直线PQ的方程，从而求表示出Q的横坐标
利用为等边三角形列方程
，整理得
，利用弦长公式即可求解
：如图，依题作出图像，设，，MN的中点为P，
因为抛物线
：
的焦点到准线的距离为2，
所以
，所以抛物线：
联立直线与抛物线方程得：
，整理得：
，
由韦达定理得:
, 
,所以
,
所以MN的中点为
，
因为存在点
使得为等边三角形，
当
时，不为等边三角形，所以
，
由为等边三角形得：
，直线
的方程为：
令
，解得：
，所以，
由为等边三角形得：,
即：
，
将, 代入上式，整理得：，
所以
故选：C
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