题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2 $数学公式$ a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）∵a_n+1=2 $\text{[math]}$ a_n，∴ $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ ，
∵a₁=2，∴{ $\text{[math]}$ }是首项为2，公比为2的等比数列，∴ $\text{[math]}$
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n²×2ⁿ；
（Ⅱ）S_n=2×1²+2²×2²+…+n²×2ⁿ①
①×2可得2S_n=2²×1²+2³×2²+…+n²×2ⁿ⁺¹②
①-②可得-S_n=2×1+2²×3+…+2ⁿ×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺¹③
③×2可得-2S_n=2²×1+2³×3+…+2ⁿ⁺¹×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺²④
③-④，可得S_n=2+2²×2+2³×2+…+2ⁿ×2-2ⁿ×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺¹+n²×2ⁿ⁺²
=2+ $\text{[math]}$ =2ⁿ⁺¹（n²-2n+3）-6
∴S_n═2ⁿ⁺¹（n²-2n+3）-6
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，可得{ $\text{[math]}$ }是首项为2，公比为2的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用两次错位相减法，即可求数列{a_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，属于中档题．