Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=-14；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以an-1=

5

6

(an-1-1)，
又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）知：an-1=-15•(

5

6

)n-1，
得an=1-15•(

5

6

)n-1，
从而Sn=75•(

5

6

)n+n-90（n∈N^*）；
由S_n+₁＞S_n，得(

5

6

)n-1＜

2

25

，n＞log

5

6

2

25

+1≈14.9，
最小正整数n=15．