Question

（2012•怀化二模）已知函数?（x）=

a

x

，a为常数，且a＞0
（1）若f（x）=ln（x-1）+?（x），且a=6，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|ln（x-1）|+?（x），且对任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定f（x）的定义域为（1，+∞），求出导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调增区间，从而可得函数单调减区间；
（2）根据对任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，可得g（x）在（1，3]是减函数，再分x∈（1，2]，x∈[2，3]，分类讨论，同时利用分离参数法，即可确定a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

a

x2

，
∵a=6，∴f′(x)=

1

x-1

-

6

x2

令f′（x）＞0，可得

1

x-1

-

6

x2

＞0，∴x＜3-

3

或x＞3+

3

令f′（x）＜0，可得

1

x-1

-

6

x2

＜0，∴3-

3

＜x＜3+

3

所以f（x）的单调增区间为(1，3-

3

]和[3+

3

，+∞)，减区间为[3-

3

，3+

3

]-----（6分）
（2）∵对任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，
∴g（x）在（1，3]是减函数
当x∈（1，2]时，g(x)=-ln(x-1)+

a

x

，g′(x)=-

1

x-1

-

a

x2

，由题意g'（x）≤0恒成立
所以-

1

x-1

-

a

x2

≤0，所以a≥-

x2

x-1

令y=-

x2

x-1

，y′=-

2x(x-1)-x2

(x-1)2

=-

x(x-2)

(x-1)2

，则y'＞0恒成立，所以函数在（1，2]上单调递增，
所以y的最大值为-4，所以a＞0------------------------------------（9分）
当x∈[2，3]时，g(x)=ln(x-1)+

a

x

，g′(x)=

1

x-1

-

a

x2

，由题意g'（x）≤0恒成立
所以

1

x-1

-

a

x2

≤0，所以a≥

x2

x-1

令y=

x2

x-1

，y′=

2x(x-1)-x2

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，则y'＞0恒成立，所以函数在[2，3]上单调递增，
所以y的最大值为

9

2

，所以a≥

9

2

------------------------------------（9分）
综上所述，a的取值范围是[

9

2

，+∞)------------------------------------（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，构建函数，利用导数求解．