Question

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0，x＞0)．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当a=

2

5

时，求函数在[

1

2

，2)上的最值；
（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，利用定义证明任意x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₂）＞f（x₁）
（2）结合（1）考查函数的单调性．利用单调性判断函数的值域
（3）由

1

a

-

1

x

≥3，可得

1

a

≥

1

x

+3在[1，2]上恒成立，构造函数g(x)=

1

x

+3，通过研究函数g（x）在[1，2]上单调性，从而求函数的最大值，而a≥g（x）_max，从而可求a

解答：解：（1）证明：设x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．（1分）
∵f（x₂）-f（x₁）═(

1

a

-

1

x2

)-(

1

a

-

1

x1

)=

x2-x1

x2x1

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．（3分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（2）当a=

2

5

时，f(x)=

5

2

-

1

x

(x＞0)；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
∴

1

2

≤f(x)＜2（7分）
∴f（x）的最小值为

1

2

，此时x=

1

2

；无最大值．（8分）
（3）依题意，

1

a

-

1

x

≥3，即

1

a

≥

1

x

+3在[1，2]上恒成立．
∵函数g(x)=

1

x

+3在[1，2]上单调递减，∴g（x）_max=4（11分）
∴

1

a

≥4，又a＞0．∴0＜a≤

1

4

，a的取值范围是(0，

1

4

]．（14分）

点评：本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值（或值域），函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用．