Question

16、在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，D为棱CC₁上任一点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析：（I）因为E、F分别为A₁C₁，B₁C₁的中点，由三角形中位线定理，我们易证明EF∥AB，根据线面平行的判定定理，我们易得直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，结合线面垂直判定定理，我们易得AB⊥面BCC₁B₁，再由面面垂直判定定理，即可得到平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

解答：证明：（Ⅰ）因为E、F分别为A₁C₁，B₁C₁的中点，所以EF∥A₁B₁∥AB（4分）
而EF?面ABD，AB?面ABD，所以直线EF∥平面ABD（7分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以AB⊥BB₁，又AB⊥BC，
而BB₁?面BCC₁B₁，BC?面BCC₁B₁，且BB₁∩BC=B，所以AB⊥面BCC₁B₁（11分）
又AB?面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC₁B₁（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理，平面与平面之间垂直的判定定理及证明步骤是解答此类问题的关键．