题目内容

已知函数f（x）=log $数学公式$ （ax²+3x+a+1）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及最值；
（2）对于x∈[1，2]，不等式（ $数学公式$ ）^f（x）-3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．

解：（1）当a=-1时，函数f（x）=log $\text{[math]}$ （-x²+3x）的定义域为（0，3），
令t=-x²+3x，则f（x）=log $\text{[math]}$ t，且-0＜x＜3．
由二次函数的性质可得，函数t在（0， $\text{[math]}$ ]上是增函数，在[ $\text{[math]}$ ，3）上是减函数．
再根据复合函数的单调性规律可得函数f（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ，3），减区间为（0， $\text{[math]}$ ]．
由于当x= $\text{[math]}$ 时，函数t取得最大值为 $\text{[math]}$ ，故函数f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
（2）对于x∈[1，2]，不等式（ $\text{[math]}$ ）^f（x）-3x≥2恒成立，
即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥ $\text{[math]}$ 恒成立．
由于函数t= $\text{[math]}$ 在[1，2]上是减函数，故当x=1时，函数t= $\text{[math]}$ 在[1，2]上取得最大值为 $\text{[math]}$ ，
故a≥ $\text{[math]}$ ，即正实数a的取值范围为[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（1）先求得函数的定义域为（0，3），令t=-x²+3x，则f（x）=log $\text{[math]}$ t，且0＜x＜3．由二次函数的性质可得函数t的单调性，再根据复合函数的单调性规律可得函数f（x）的单调性．利用二次函数的性质求得函数t的最大值，可得函数f（x）的最小值．
（2）由题意可得对于x∈[1，2]，即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥ $\text{[math]}$ 恒成立．利用单调性求得函数t= $\text{[math]}$ 在[1，2]上取得最大值，可得正实数a的取值范围．
点评：本题主要考查复合函数的单调性规律，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．