Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线y=

b

a

x交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为

 

．

Answer 1

分析：由双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可取其一条渐近线方程为y=

b

a

x且与

x2

a2

-

y2

b2

=1联立可得故A（

2a2c

a2+b2

，

2abc

a2+b2

）所以S_△OFA=

1

2

|OF||y_A|=

1

2

×C×

2abc

a2+b2

=ab

解答：解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴不妨设其中的一条渐近线方程为：y=

b

a

x且F（c，0），a²+b²=c²
令y=

b

a

x与

x2

a2

-

y2

b2

=1联立可得：x=0，x=

2a2c

a2+b2

所以y=0，y=

2abc

a2+b2

故A（

2a2c

a2+b2

，

2abc

a2+b2

）
所以S_△OFA=

1

2

|OF||y_A|=

1

2

×C×

2abc

a2+b2

=ab
故答案为：ab

点评：此题主要考查了利用双曲线的基本性质来求△OAF的面积．关键是会求渐近线方程并且和方程联立求A点的坐标最后代入面积公式S_△OFA=

1

2

|OF||y_A|同时结合a²+b²=c²化简即可．