Question

在椭圆

x2

16

+

y2

4

=1内以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为

x-2y+4=0

．

Answer 1

分析：设以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆

x2

16

+

y2

4

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点P（-2，1）是线段AB的中点，知

x1+x2=-4 y1+y2=2

，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆x²+4y²=16，由点差法得到k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，由此能求出以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程．

解答：解：设以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆

x2

16

+

y2

4

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点P（-2，1）是线段AB的中点，
∴

x1+x2=-4 y1+y2=2

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆x²+4y²=16，
得

x12+4y12=16   ① x22+4y22=16   ②

，
①-②得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-4（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=

1

2

(x+2)，
整理，得x-2y+4=0．
故答案为：x-2y+4=0．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．