Question

定义在R上的函数f（x）满足f(x)=

log2(1-x)， x≤0 f(x-1)-f(x-2)， x＞0

，则f（2009）的值为

 

．

Answer 1

分析：先把x=2009，代入函数推到出当x＞3时，是周期为6的周期函数，然后可知f（2009）=f（-1），再把x=-1代入f（x）=log₂（1-x），即可求出结果．

解答：解：∵f（2009）=f（2008）-f（2007）=[f（2007）-f（2006）]-f（2007）=-f（2006）
即当x＞3时满足f（x）=-f（x-3）=f（x-6），周期为6
∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=f（-1）
当x≤0时f（x）=log₂（1-x）
∴f（-1）=1
∴f（2009）=f（-1）=1
故答案为1．

点评：本题主要考查了函数的周期性以及对数函数运算性质，此题的关键是判断函数是周期性．