题目内容

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且 $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断n≥4时 $数学公式$ 与S_n+1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

解：（1）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
n=1时，b₁=T₁=1- $\text{[math]}$ b₁，∴b₁= $\text{[math]}$
n≥2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
两式相减得b_n= $\text{[math]}$ b_n-1数列是等比数列，
∴b_n= $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）^n-1；
（2）S_n= $\text{[math]}$ =n²，∴S_n+1=（n+1）²， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
n≥4时， $\text{[math]}$ ＞S_n+1，证明如下：
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N^*，k≥4）时， $\text{[math]}$ ＞S_k+1，即 $\text{[math]}$ ＞（k+1）²．
那么n=k+1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3• $\text{[math]}$ ＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，结论也成立．
由①②可知n∈N^*，n≥4时， $\text{[math]}$ ＞S_n+1都成立．
分析：（1）由于数列{a_n}是等差数列，故只需求出首项和公差就可求其通项公式；由数列{b_n}的前n项和为T_n 通过递推然后两式相减可求得b_n．（2）利用等差数列求和公式得出S_n，S_n+1．猜想：n≥4时， $\text{[math]}$ ＞S_n+1，最后利用数学归纳法证明．
点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．