Question

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．
解答：解：因为y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，
所以3（a-3）x³+1=0，即a-3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x²-2ax-3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
点评：本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．