Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1(x∈R)
（1）求f(

π

8

)的值；
（2）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点(-

π

6

，0)对称，且t∈（0，π），求t的值．

Answer 1

分析：把函数解析式的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用诱导公式变形，整理后提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）把x=

π

8

代入化简后的式子中，即可求出f（

π

8

）的值；
（2）由函数h（x）=f（x+t）的图象关于点(-

π

6

，0)对称得f（t-

π

6

）=0，根据化简的解析式列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，再由t的范围即可得到满足题意的t值．

解答：解：f（x）=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1
=2×

1- cos( π 2 +2x)

2

-

3

cos2x-1
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x-1
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），（5分）
（1）f(

π

8

)=sin

π

4

-

3

cos

π

4

=

2 - 6

2

；    （7分）
（2）由题意得：h（-

π

6

）=f（t-

π

6

）=2sin（2t-

2π

3

）=0，
可得2t-

2π

3

=kπ（k∈Z），（12分）
解得：t=

kπ

2

+

π

3

，又t∈（0，π），
则t=

π

3

或

5π

6

．    （14分）

点评：此题考查二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，特殊角的三角函数值以及正弦函数的对称性，其中灵活运用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．