Question

函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（ ）
A．[2，+∞）
B．[4，+∞）
C．{4}
D．[2，4]

Answer 1

【答案】分析：对x分-1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三种情况分别求出a的取值范围，然后求其交集即可．
解答：解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．
②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax³-3x+1≥0，∴，
令g（x）=，g^′（x）==，令g^′（x）=0，解得x=．
当0时，g^′（x）＞0；当时，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x=时取得最大值，g（）=4，∴a≥4．
③当-1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则 ax³-3x+1≥0，∴a≤．
令h（x）=，则h^′（x）=≥0，
∴h（x）在[-1，0）上单调递增，
∴当x=-1时，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足，解得a=4．
∴a 的取值范围为{4}．
故选C．
点评：本题考查了含参数的函数在闭区间（含0）上恒成立问题，即可以对自变量x进行分类讨论，也可对参数a分类讨论，求出答案．