题目内容

已知函数 $数学公式$ ．其图象的两个相邻对称中心的距离为 $数学公式$ ，且过点 $数学公式$ ．
（I）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边， $数学公式$ ， $数学公式$ ，角C为锐角．且满 $数学公式$ ，求c的值．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（ωx+φ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [1-cos（ωx+φ）]
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin（ωx+φ）+ $\text{[math]}$ [1-cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为 $\text{[math]}$ ，∴函数的周期T= $\text{[math]}$ =π，得ω=2
∵点 $\text{[math]}$ 是函数图象上的点，
∴f（ $\text{[math]}$ ）=sin（2× $\text{[math]}$ +φ+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =1，解之得cosφ= $\text{[math]}$
∵φ∈（0， $\text{[math]}$ ），∴φ= $\text{[math]}$
因此，函数f（x）的达式为f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ；
（II）f（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=sin（C- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解之得sinC= $\text{[math]}$
∵0＜C＜ $\text{[math]}$ ，∴cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又∵a= $\text{[math]}$ ，S_△ABC=2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ×a×b×sinC=2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×b× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，解之得b=6
根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=5+36-2× $\text{[math]}$ ×6× $\text{[math]}$ =21
∴c= $\text{[math]}$ ，即得c的值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（ωx+φ- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，结合图象的两个相邻对称中心的距离为 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 在函数图象上，建立关于ω、φ的关系式，解之即可得到函数f（x）的达式；
（II）将 $\text{[math]}$ 代入函数表达式，解出sinC= $\text{[math]}$ ，结合C为锐角，算出cosC= $\text{[math]}$ ．根据面积正弦定理公式，由S_△ABC=2 $\text{[math]}$ 算出b=6，最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边c的值．
点评：本题给出三角函数式，根据函数的图象特征求函数表达式，并依此解三角形ABC的边c的长，着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．