Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点（2，1），平行于直线在轴上的截距为，设直线交椭圆于两个不同点、，

（1）求椭圆方程；

（2）求证：对任意的的允许值，的内心在定直线。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）直线为，由得

，设直线、的斜率分别为、， 所以，的角平分线垂直轴，因此，内心的横坐标等于点的横坐标，则对任意的，的内心在定直线

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为

则   所以椭圆方程为           …… 5分

（2）如图，因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以，直线的方程为， 由，

设，则，…………8分

设直线、的斜率分别为、，则，

故=

=

     ……………12分

故=0， 所以，的角平分线垂直轴，因此，内心的横坐标等于点的横坐标，则对任意的，的内心在定直线 ……14

考点：椭圆方程及直线与椭圆的位置关系

点评：直线与椭圆相交，利用韦达定理设而不求是常用的思路，本题要证内心在定直线上转化为两边关于该直线对称，进而与斜率联系起来