Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx-

1

2

（a∈R，a≠0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）对定义域内每一个x，总有f（x）≥0，则称f（x）为“非负函数”，若f（x）在x∈[1，+∞）上是“非负函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入曲线方程，求出f（1）的值，求出原函数的导函数，得到f′（1），由点斜式得切线方程；
（2）求出原函数的导函数，当a＜0时得到导函数在定义域内横大于0，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（3）由题意知对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，则只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
然后分a＜0，0＜a≤1和a＞1研究原函数的单调性，求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求解实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=2时，f（x）=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f（1）=0
f′(x)=x-

2

x

，f′（1）=-1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0
（2）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)
①当a＜0时，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x	（ 0， a ）	a	（  a ，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	减		增

所以函数f（x）的递增区间为（

a

，+∞），递减区间为（0，

a

）
（3）由题意知对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，则只需任意的
x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0满足题意；
②当0＜a≤1时，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1满足题意；
③当a＞1时，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是减函数，
[

a

，+∞）上是增函数，
所以只需f（

a

）≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
从而a＞1不满足题意；
综合①②③实数a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．

点评：本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，关键是掌握不等式恒成立时所取的条件．是中档题．