Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在x=0处取极值，所以f'（0）=0求出a即可；
（Ⅱ）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得ln(x+1)-x2+

5

2

x-b=0，然后令 φ(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，求出导函数，讨论导函数的增减性，得到b的取值范围；
（Ⅲ）求出f′（x）=0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的最大值为f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=

1

n

＞0，代入得到结论成立．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+a

-2x-1，∵x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（0）=0，
故

1

0+a

-2×0-1=0，解得a=1．经检验a=1符合题意．
（Ⅱ）由a=1知 f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=-

5

2

x+b，得 ln(x+1)-x2+

5

2

x-b=0．
令 φ(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，
则 f(x)=-

5

2

x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根，
等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根． φ′(x)=

1

x+1

-2x+

5

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；
当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；
依题意有

φ(0)≤0 φ(1)＞0 φ(2)≤0

，解可得ln3-1≤b＜ln2+

1

2

.
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞1}．
由（Ⅰ）知 f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

．令f′(x)=0时，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．
对任意正整数n，取 x=

1

n

＞0得，ln(

1

n

+1)＜

1

n

+

1

n2

，故ln

n+1

n

＜

n+1

n2

．
即ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

分别取n=1，2，3，…，n得：
ln(1+1)-ln1＜

2+1

12

，
ln(2+1)-ln2＜

2+1

22

，
…
ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．
以上n个式子相加得：

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不等式的证明．