Question

已知α、β∈(0,),3sin²α+2sin²β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.

Answer 1

思路分析：本题关键是求α+2β的某一个三角函数值,并且在(0,)内值唯一.

证明：由3sin²α+2sin²β=1,得3sin²α=1-2sin²β,即3sin²α=cos2β,①

由3sin2α-2sin2β=0,得3sinαcosα=sin2β.②

①²+②²,得9sin⁴α+9=1,

∴9sin²α·(sin²α+cos²α)=1,

即9sin²α=1.∴sin²α=.

又α∈(0,),∴sinα=.

∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β

=sinα·3sin²α+cosα·3sinαcosα

=3sinα(sin²α+cos²α)=3sinα=1.

又∵α、β∈(0,),

∴α+2β∈(0,).

∴α+2β=.