Question

设数列{a_n}的前n项和S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，且m≠-3，m≠0．
（Ⅰ）求证{a_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b1=a1，bn=

3

2

f(bn-1)(n∈N，n≥2)，求b_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，两式相减得（3+m）a_n+1=2ma_n，易证{a_n}是等比数列，并写出它的通项公式．
（Ⅱ）b₁=a₁=1，q=f(m)=

2m

m+3

，n∈N且n≥2时，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

，bnbn-1+3bn=3bn-1，

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，通过数列{

1

bn

}的通项求出b_n．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，两式相减得（3+m）a_n+1=2ma_n…（3分）m≠0且m≠-3，
∴

an+1

an

=

2m

m+3

，
∴{a_n}是等比数列 …（6分）
又a₁=1，∴an=(

2m

m+3

)n-1…（6分）
（Ⅱ）b₁=a₁=1，q=f(m)=

2m

m+3

，∴n∈N且n≥2时，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

，bnbn-1+3bn=3bn-1，

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

…（9分）
∴{

1

bn

}是1为首项

1

3

为公差的等差数列
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，∴bn=

3

n+2

…（12分）

点评：本题考查数列性质的判断，通项公式求解．考查转化构造，运算求解能力．