Question

已知点C(

1

4

，0)，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右准线l₁+x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

？若存在，求出直线l；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

a2

c

=2

b2+c2

=

2

，a²=b²+c²，从而可求
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，假设存在满足条件的直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，y1+y2=-

-2k

2k2+1

，由(

CA

+

CB

)⊥

BA

可求k的值

解答：解（1）：由题意可得

a2

c

=2

b2+c2

=

2

，a²=b²+c²
解可得，a²=2，b²=1
所以椭圆方程

x2

2

+y2=1
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，
假设存在满足条件的直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴y1+y2=-

-2k

2k2+1

∴

CA

+

CB

=(x1-

1

4

，y1)+(x2-

1

4

， y2)=(

4k2

2k2+1

-

1

2

，

-2k

2k2+1

 )，

AB

的方向向量（1，k）
∴

4k2

2k2+1

-

1

2

+

-2k

2k2+1

×k=0
∴k=±

2

2

，
所以存在直线l，且直线的方程为y=±

2

2

(x-1)

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆相交的位置关系的应用，这是直线与圆锥曲线中的常考的试题类型．