题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1= $数学公式$ a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明数列{ $数学公式$ }是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n= $数学公式$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n＜6．

（1）证明：∵a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1，∴a_n= $\text{[math]}$ a_n-1+1
两式相减可得a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ a_n- $\text{[math]}$ a_n-1，
整理可得 $\text{[math]}$ ，
∴数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；
（2）解：∵a₁=1，a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1，∴a₂=3a₁+1=4
∴ $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =n，
∴a_n=n²；
（3）证明：n≥2时，b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =4（ $\text{[math]}$ ）
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+4[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）=2+4（ $\text{[math]}$ ）＜6．
分析：（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减整理可得 $\text{[math]}$ ，即可得到数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；
（2）确定数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）对通项放缩，再裂项求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．