Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是线段AB．BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）连接AF，证明DF⊥平面PAF，即可证明PF⊥FD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系．因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，确定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）解法1：利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用

m

•

EG

=0，可得结论；
解法2：几何法，利用面面平行，可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=DF=

2

，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．-----------------------（5分）
（Ⅱ）解：因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则如图建立空间直角坐标系．
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，
以A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
所以

PF

=(1，1，-1)，

DF

=(1，-1，0)
设平面PFD的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • PF =0 n • DF =0

得

x+y-z=0 x-y=0

，
令x=1，解得：y=1，z=2，所以

n

=(1，1，2)．
又因为AB⊥平面PAD，所以

AB

是平面PAD的法向量，易得

AB

=(1，0，0)，
所以cos?

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1

1+1+4

=

6

6

．
由图知，所求二面角A-PD-F的余弦值为

6

6

．---------------------------------（10分）
（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在点G，使得EG∥平面PFD．
设点P（0，0，a），G（0，0，b），则

PF

=(1，1，-a)，

DF

=(1，-1，0)
因为E(

1

2

，0，0)，则

EG

=(-

1

2

，0，b)．
设平面PFD的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

m • PF =0 m • DF =0

得

x+y-az=0 x-y=0

，
令x=1，解得：y=1，z=

2

a

，所以

m

=(1，1，

2

a

)．
令

m

•

EG

=0得-

1

2

+

2b

a

=0，即b=

1

4

a，
所以G(0，0，

1

4

a)．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．---------------------------------------------（14分）
解法2：过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．-----------------------------（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．