题目内容

数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求和S1•
C0n
+S2•
C1n
+S3•
C2n
+…+Sn+1•
Cnn
；
（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg(1+
1
b1
)+lg(1+
1
b2
)+…+lg(1+
1
bm
)=lg(log2am)．
问数列{bn}最多有几项？并求这些项的和．
（1）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1-2an，即an+1=2an．
又S1=2a1-1，得a1=1≠0，
∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．…（5分）
（2）由（1）知Sn=2n-1，
∴S1•
C0n
+S2•
C1n
+S3•
C2n
+…+Sn+1•
Cnn

=（21-1）•
C0n
+（22-1）•
C1n
+（23-1）•
C2n
+…+（2n+1-1）•
Cnn

=2（
C0n
+2
C1n
+22
C2n
+…+2n
Cnn
）-（
C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
）
=2（1+2）n-2n
=2•3n-2n…（10分）
（3）由已知得2•
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bm+1
bm
=m-1．
又{bn}是连续的正整数数列，
∴bn=bn-1+1．
∴上式化为
2(bm+1)
b1
=m-1．
又bm=b1+（m-1），消bm得mb1-3b1-2m=0．
m=
3b1
b1-2
=3+
6
b1-2
，由于m∈N*，
∴b1＞2，
∴b1=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63…（16分）
练习册系列答案
相关题目
设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn（k）表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）
若数列{an}的通项an=
1
pn-q
，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pan＜an-1；
（2）求证sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求证sn＜
2
3
．
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求数列{bn}的通项公式bn．
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）
给出下列命题：
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1，则数列{an}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是
③
③
．

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